Source: http://zimmer.csufresno.edu/~larryc/proofs/proofs.introduction.html

Larry W. Cusick

Dokazi su srce matematike. Ako ste glavni matematičar, tada se morate suočiti sa dokazima – morate ih znati čitati, razumjeti i napisati. U čemu je tajna? Koju magiju trebate znati? Kratki odgovor glasi: nema tajne, nema misterije, nema magije. Potrebno je samo zdrav razum i osnovno razumijevanje nekoliko pouzdanih i lako razumljivih tehnika.

Struktura dokaza

Osnovna struktura dokaz je jednostavno: to je samo niz izjava, svaka je bilo

• Pretpostavka ili
• Zaključak, jasno slijedi iz pretpostavke ili ranije pokazao rezultat.

I to je sve. Povremeno će se pojaviti pojašnjenja, ali to je samo za čitatelja i nema logičkog utjecaja na strukturu dokaza.

Proći će dobro pisani dokaz. Odnosno, čitatelj bi se trebao osjećati kao da ih se vozi u vožnji što ih vodi izravno i neizbježno do željenog zaključka, bez ometanja nebitnih detalja. Svaki bi korak trebao biti jasan ili barem jasno opravdan. Dobar je dokaz lako slijediti.

Kad završite s dokazom, primijenite gornji jednostavan test na svaku rečenicu: je li to jasno (a) pretpostavka ili (b) opravdan zaključak? Ako rečenica ne ispuni test, možda ne spada u dokaz.

Primjer: iracionalnost kvadratnog korijena od 2

Da biste mogli pisati dokaze, morate biti u mogućnosti čitati dokaze. Pogledajte možete li slijediti dokaz u nastavku. Ne brinite o tome kako biste (ili ne biste) smislili ideju za dokaz. Pročitajte dokaz s gore navedenim kriterijima. Je li svaka rečenica očito pretpostavka ili zaključak? Prolazi li dokaz? Je li teorema zapravo dokazana?

Prije nego što počnemo dokaze, neka se prisjetiti nekoliko definicija. Pravi broj se naziva racionalno, ako se to može izraziti kao omjer dva prirodna broja: p/q. Stari Grci su mislili da su svi brojevi su racionalni. Broj koji nije racionalan bi se zvati iracionalnim. Vi vjerojatno smatraju da  je p  iracionalan. (Moglo bi vas iznenaditi da to nije lako dokazati.) Kada su Grci pokazali da je kvadratni korijen od 2 nije racionalan broj, same temelje aritmetike su dovedena u pitanje. To je jedan od razloga da grčka geometrija kasnije izrasli-svi brojevi mogu se tretirati geometrijski bez pozivanja na racionalnosti.

Još jedna činjenica da ćemo trebati je temeljni teorem aritmetike. Ova uzbudljiva sondiranje teorem nije ništa više od činjenice da je svaki pozitivni cijeli broj ima jedinstvenu predstavljanje kao produkt prostih brojeva. Tehnika dokazivanja ćemo koristiti je dokaz po suprotnosti. Ne trebate bilo specijalizirana znanja da razumije što to znači. To je vrlo jednostavan. Mi ćemo pretpostaviti da je korijen iz 2 je racionalan broj i onda dolazimo do proturječja. Pobrinite se da razumijete svaku liniju dokaza.

Teorema. Kvadratni korijen od 2 iracionalan broj.

Dokaz. Idemo predstavljaju korijen od 2 strane s. Zatim, po definiciji, a zadovoljava jednadžbu

s² = 2.Ako je s racionalni broj, mogli bismo pisati

s = p/q 

gdje su p i q par cijelih brojeva. Infekt, dijeljenjem zajedničkog višestrukog ako je potrebno, možemo čak i pretpostaviti da p i q nemaju zajednički višestruki (osim 1). Ako to sada zamijenimo prvom jednadžbom, dobivamo, nakon malo algebre, jednadžbu

p² = 2 q².Ali sada, temeljni teorem aritmetike, 2 mora pojaviti u početni faktorizaciju broj p²  (budući da se pojavljuje u istom broju 2 q²). Od 2 Sam je prost broj, 2 tada moraju pojaviti u početni faktorizaciju broj p. Ali onda, 2²  će se pojaviti u početni factoriztion p², a time u 2 q². Dijeljenjem out 2, onda se čini da 2 u početni faktorizaciju q². Kao i prije (s p²) sada možemo zaključiti 2 je glavni faktor q. Ali sada imamo p i q dijeli množitelj, i to 2. To krši naša pretpostavka gore (vidjeti ako možete naći) da p i q nemaju zajednički višekratnik osim jednog.